Teimour Radjábov nació el 12 de marzo de 1987 en Bakú, Azerbaiyán (misma ciudad que vio nacer al celebre Garry Kaspárov). Inició su carrera a los 4 años de edad, ganó el Campeonato Mundial de menores de 18 en 1999. En el 2001, a la edad de 14 años 14 días, se convirtió en el Gran Maestro más joven de la historia hasta entonces.
En el torneo de Linares de 2003, jugando con negras, dio una sonora campanada al convertirse en el jugador más joven de la historia en derrotar a un Campeón Mundial, su compatriota Garry Kaspárov. Ese mismo año también venció al Campeón Mundial FIDE Viswanathan Anand y al ucraniano Ruslan Ponomáriov. Ambos encuentros con piezas negras. En menos de un año había derrotado a tres Campeones Mundiales FIDE.
En el 2005 se colocó en la segunda posición del Campeonato Europeo Individual y como primer lugar en el Torneo de Dos Hermanas.
En el Super Torneo de Morelia-Linares 2006, Teimour venció con piezas negras al campeón mundial de la FIDE Veselin Topálov, colocándose además como segundo en la clasificación final.
En noviembre de 2006, Radjábov ganó el fuerte torneo Cap d'Agde ganando la final en contra de Sergey Karjakin.
En diciembre de 2006, durante el Festival de la Creatividad en Florencia Italia, derrotó a Deep Junior (programa vencedor en el Campeonato Mundial de Computadoras de Turín).
Ganador ex-aqueo junto con Topálov y Aronian del 69º Corus de Wijk aan Zee, 2007.
En mayo del 2007 se impone a Carlsen en el duelo de Jóvenes talentos de Córcega, Francia.
Es uno de los más brillantes representantes de la nueva generación a la que pertenecen el azerbayano Shakhriyar Mamedyarov, el checo David Navara, el ucraniano Sergei Karjakin y el indio Pentala Harikrishna. Es un jugador muy seguro de si mismo. De 19 años se manifiesta como un ajedrecista maduro. Radjábov tiene un Elo de 2735, colocándose como el jugador número doce del mundo.